gyűrűelmélet – A modern gyűrűelmélet kialakulása a számfogalom fej­lő­déséhez kapcsolható. Gyűrűnek olyan algebrai struktúrát nevezünk, amely­ben adva van egy összeadásnak, illetve egy szorzásnak nevezett művelet; az alaphalmaz az összeadásra nézve Abel-csoportot, a szorzásra nézve félcso­portot alkot, és érvényesek a két műveletet összekapcsoló disztributivitási szabályok. Legtipikusabb példa gyűrűre az egész számok halmaza a két szo­kásos művelettel, de gyűrűt alkotnak a valós polinomok, illetve rögzített n-re a valós n x n-es mátrixok is. A XIX. század közepéig elsősorban a komplex számtest különböző részgyűrűinek számelméleti tulajdonságait vizsgálták például a nevezetes Fermat-sejtés kapcsán. Az általános gyűrűfogalom az 1870-es években jelenik meg Dedekindnél, noha a »gyűrű« elnevezés Hilbert­től származik. A számelméleti vizsgálatok elsősorban úgynevezett kommutatív gyűrűkhöz vezettek (ezekben a szorzás kommutatív), s rendszerint kommu­tatív gyűrűk fordulnak elő az algebrai geometriában is (például egyes algebrai sokaságok lokális koordinátagyűrűiként). Hamilton és Grassman munkáiban már az 1840-es években fölbukkannak nem kommutatív gyűrűk is: ilyen például a komplex számok általánosításaként kapott kvaternióalgebra. Az 1920-as években Krull, Noether és Artin munkássága nyomán indult meg – a test fö­lötti véges dimenziós algebrák esetének általánosításaként – a láncfeltételeket kielégítő gyűrűk módszeres vizsgálata. Erős struktúraeredmények születtek a polinomazonosságot kielégítő gyűrűk osztályára. A gyűrűknek Abel-csoportok endomorfizmusgyűrűjeként való előállítása vezet el a modulusok fogalmához, összekapcsolva a gyűrűelméletet a csoportreprezentációkkal. A gyűrűk fontos általánosításait kapjuk, amikor az asszociativitás helyett egyéb feltételeket követelünk meg a szorzásra (például a Lie-algebráknál vagy a Jordan-algeb­ráknál); ezeknek számos alkalmazása ismert a differenciálgeometriában vagy a fizikában.